22 septiembre, 2016

Tema 3. REPRESENTACIÓN DEL PLANO EN EL SISTEMA ACOTADO

Contenido


3.1     Representación del plano

3.2    Posiciones particulares del plano

3.3    Pertenencia de un punto y una recta a un plano

3.4    Intersección de planos

3.5    Intersección recta-plano


En la unidad anterior aprendimos como se representan un punto y una recta en el sistema acotado. En esta unidad daremos un paso más y aprenderemos como se representa un plano en el mismo sistema acotado.

Estudiaremos también las rectas notables del plano pues son muy útiles para la definición de un plano. Entre ellas haremos especial hincapié en el concepto de línea de máxima pendiente.

Completaremos el estudio del plano con la exposición de las diferentes formas de definir un plano.

Llegados a este punto y una vez que ya sabemos como se representan, el punto, la recta y el plano en el sistema acotado, podremos realizar intersecciones entre dos planos o intersecciones entre una recta y un plano.

3.1 REPRESENTACIÓN DEL PLANO

Imaginemos un plano cualquiera a en el espacio, al proyectarlo sobre el plano de proyección H del sistema acotado, no veremos nada más que la línea de intersección de este plano a con el plano de proyección (Tengamos en cuenta que los planos son infinitos y no presentan límites como los representados en la figura. Los límites se colocan para una mejor comprensión). Esta línea es lo que denominamos traza del plano y todos sus puntos tendrán cota cero.

pl-1

Representación del plano a) en el espacio y b) sistema acotado

Para una definición más completa del plano lo representaremos mediante los elementos siguientes:

  • Su línea de máxima pendiente (LMP). La línea de máxima pendiente de un plano es la recta del plano que forma el mayor ángulo posible con el plano de proyección.
  • Las rectas horizontales del plano. Las rectas horizontales del plano son rectas del plano paralelas al plano de proyección H y de cota entera.

camaraPara mejor comprensión de este tema ver los vídeos del apartado http://expgrafica.com/videos-s-acotado o en la siguiente dirección de youtube


Rectas horizontales del plano

Las rectas horizontales de un plano son rectas del plano paralelas al plano de proyección y que todos sus puntos tienen la misma cota. Estas rectas son paralelas entre sí y, por tanto, sus proyecciones también lo serán.

Las rectas 1, 2, 3, 4 representadas en la figura tienen la misma cota en todos sus puntos y son horizontales del plano a. Como se observa en la figura, las rectas horizontales son paralelas a la traza del plano.

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Rectas horizontales del plano

Línea de máxima pendiente

La línea de máxima pendiente de un plano es la recta del plano que forma el mayor ángulo posible con el plano de proyección. Esta recta es perpendicular a la traza del plano y, por geometría sabemos que su proyección también será perpendicular a la traza del plano. Por tanto, el plano tiene infinitas líneas de máxima pendiente que serán todas ellas paralelas entre sí.

Para trazar la línea de máxima pendiente del plano bastará con trazar una de estas infinitas líneas de máxima pendiente.

Como todas las rectas del sistema acotado, la línea de máxima pendiente del plano deberá estar graduada. Esta recta graduada posee toda la información del plano por lo que será la forma más común de representación de un plano en el sistema acotado. Para distinguir las líneas de máxima pendiente de otras rectas pertenecientes al plano, esta línea se representa mediante una línea doble, como puede observarse en la figura siguiente.

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Línea de máxima pendiente de un plano

Una vez conocida la línea de máxima pendiente podemos trazar las horizontales del plano que por ser paralelas a la traza del plano, serán perpendiculares a la línea de máxima pendiente.

Determinación de un plano

Según la geometría del espacio un plano puede venir determinado de tres formas diferentes: Por dos rectas paralelas o por dos rectas que se cortan en un punto, por tres puntos, o por un punto y una recta.

  1. Todos estos casos pueden reducirse al plano determinado por dos rectas que se cortan en un punto, y en última instancia, el proceso se reducirá a hallar las horizontales del plano y su línea de máxima pendiente. Plano definido por dos rectas paralelas o dos rectas que se cortan.

Sea el plano determinado por dos rectas concurrentes, R, definida por los puntos A y B, y S, definida por los puntos B y C. Como todos los puntos de una recta horizontal tienen la misma cota, hallaremos las horizontales del plano uniendo puntos de las rectas dadas que tengan la misma cota.

La línea de máxima pendiente será la perpendicular a esas rectas horizontales y quedara graduada por sus intersecciones con esas rectas.

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Plano definido por dos rectas que se cortan

  1. Plano definido por tres puntos no alineados. En este caso uniremos los puntos de dos en dos con lo cual obtendremos dos rectas que se cortan en un punto. Su resolución se realizará como en el caso anterior.
  2. Plano definido por un punto y una recta. En este caso también se reduce al de dos rectas que se cortan en un punto. Para ello bastará con unir el punto dado con un punto cualquiera de la recta.

 3.2. POSICIONES PARTICULARES DEL PLANO

Las posiciones del plano en el espacio respecto al plano de proyección son tres:

  1. Oblicuo (visto en los apartados anteriores). Es un plano que forma un ángulo cualesquiera con el plano horizontal de proyección (fig. 3.3).
  1. Plano perpendicular al plano de proyección. Su línea de máxima pendiente es vertical y todas las horizontales del plano se proyectarán sobre su traza. El plano se representa por su traza con dos líneas finas paralelas.pl5

Representación de un plano perpendicular

  1. Plano horizontal o paralelo al plano de proyección.

Todos sus puntos tienen la misma cota. No tiene traza por ser paralelo al plano de proyección. Se representa por su cota o por la proyección acotada de uno de sus puntos.

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Representación de un plano paralelo al plano de proyección

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3.1     Representación del plano

3.2    Posiciones particulares del plano

3.3    Pertenencia de un punto y una recta a un plano

3.4    Intersección de planos

3.5    Intersección recta-plano