15 septiembre, 2016

Tema 9. INTERSECCIÓN DE SUPERFICIES

   Contenido:  


9.1. Intersección de superficies

9.1.1. Método general

9.1.2. Casos de intersección de superficies

9.1.3. Elección de planos auxiliares

9.1.4. Determinación del tipo de intersección

9.1.5. Resolución de penetración

9.1.6. Resolución de mordedura

9.2. Intersección de superficies. Casos resueltos


Este tema es de gran aplicación práctica dentro de esta asignatura pues nos va a permitir hallar la intersección de cuerpos en el espacio tridimensional. En este tema trataremos de exponer los conocimientos precisos que nos ayuden a resolver cualquier tipo de intersección en la práctica.

Nos centraremos en los procedimientos generales y en la obtención de puntos importantes que nos puedan definir una curva intersección de dos superficies.

El procedimiento general de resolución de estas intersecciones, como veremos en los apartados siguientes, es siempre el mismo: para hallar la intersección de dos superficies se cortarán ambas con una superficie auxiliar, de forma que las secciones que produce en ambas se puedan resolver fácilmente. Los puntos comunes a ambas secciones pertenecerán a la curva intersección y si esto lo repetimos varias veces y unimos ordenadamente los puntos obtenidos, tendremos la curva intersección.

9.1. INTERSECCIÓN DE SUPERFICIES

En muchas ocasiones es necesario determinar la intersección de dos superficies cualesquiera. Sabemos que la intersección de dos superficies dará como resultado una línea común a ambas que puede ser una recta, o una curva abierta, o una curva cerrada, o una curva o plana o alabeada.

A continuación se expondrá el método general para la determinación de estas líneas de intersección entre dos superficies.

9.1.1. Método general

Sean las superficies S1 y S2, que se cortan entre si y de las cuales queremos hallar la línea intersección de ambas.

El método general para hallar dicha intersección se basa en seccionar a ambas superficies con una superficie auxiliar a, de forma que las líneas de intersección L1 y L2 que dicha superficie produce en las dos anteriores se puedan obtener fácilmente. Estas intersecciones L1 y L2 se cortarán entre sí en uno o dos puntos (M y N) comunes a ambas superficies.

Repitiendo este procedimiento con otras superficies auxiliares obtendremos nuevos puntos que uniéndolos entre si ordenadamente, nos generarán la intersección buscada.

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Intersección de superficies

La superficie auxiliar se elige de forma que el corte con las superficies dadas sean líneas sencillas y fáciles de determinar generalmente rectas o círculos.

9.1.2. Casos de intersección de superficies

En la práctica existen varios casos de intersección de superficies: Mordedura, penetración y penetración tangencial.

Mordedura

Este tipo de intersección se caracteriza porque cada superficie corta parcialmente a la otra sin llegar a abarcar toda su sección ni ser abarcado por la otra. Esto hace que la línea intersección sea una línea continua quebrada en el caso de prismas y pirámides, o curva alabeada, para la intersección entre superficies de revolución.

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Intersecciones de superficies: mordedura y penetración

Penetración

En este caso, una superficie penetra en la otra atravesandola por completo. Esto dará lugar a dos líneas de intersección que no estarán en contacto entre sí, por lo que serán distintas e independientes. Una de ellas se producirá en la zona de entrada del sólido y la otra en la de salida.

Penetración tangencial

Este es un caso particular de penetración en la que los sólidos presentan una tangencia en una de sus aristas o generatrices, por este motivo las líneas de entrada y salida serán también tangentes entre sí. Este caso es un caso límite entre penetración o mordedura porque podríamos considerar que existe una sola curva de intersección.

Penetración máxima (doble Tangencia)

Es una penetración tangencial aunque, en este caso, la tangencia se produce en dos costados del sólido penetrante con dos aristas o generatrices del otro. Es un caso de penetración mutua y al mismo tiempo máxima. Las curvas de entrada y salida presentan dos puntos comunes.

is3Intersecciones de superficies: Penetración tangencial y penetración máxima

9.1.3. Elección de planos auxiliares

La elección de los planos auxiliares de intersección va a depender del tipo de cuerpos geométricos éntrelos que se realiza la intersección.

Cilindros o prismas

En el caso de cilindros o prismas, los planos auxiliares se eligen paralelos a las generatrices del cilindro o paralelos a las aristas de los prismas. Los planos auxiliares se obtienen trazando por un punto cualquiera rectas paralelas a las generatrices del cilindro o a las aristas del prisma. Las trazas horizontales de estas rectas determinan la traza del plano auxiliar que buscamos (t). Como todos los planos auxiliares han de ser paralelos a las aristas del prisma o a las generatrices del cilindro, sus trazas serán paralelas a t.

La resolución comienza trazando planos auxiliares paralelos al hallado, es decir, trazamos rectas paralelas a t y que corten a las bases de los dos cilindros o prismas. En el caso de dos cilindros trazaremos los planos auxiliares por donde queramos pero siempre cortando a ambos cilindros. Si son prismas los trazaremos por los vértices de las bases horizontales de ambos prismas.

En la figura se ha trazado las rectas t1 y t2. La recta t1 corta al cilindro derecho en los puntos 1 y 2, y al cilindro izquierdo en los puntos a y g. Estos puntos son los pies de las generatrices intersección que se cortan según los puntos 1a, 2a y 1g, 2g.

 

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Resolución de Intersección de superficies

Repitiendo la intersección con otros planos paralelos obtendremos otros cuatro puntos, dos de la curva de entrada y dos de la curva de salida. Uniendo estos puntos ordenadamente tendremos las curvas de intersección de entrada y de salida.

Conos o pirámides

En el caso de dos conos o dos pirámides se tomarán como planos auxiliares los planos que pasan por la recta que forman los dos vértices. Una vez obtenida la recta, se halla su traza horizontal y desde ella se trazan rectas que pasen por los vértices de la base.

Estas rectas son las trazas horizontales de los planos auxiliares empleados que son concurrentes en la traza de la recta.

Cono o pirámide con cilindro o prisma

En este caso, los planos se hallan trazando una recta paralela a las aristas del prisma por el vértice de la pirámide o cono. Se halla la traza de la recta y desde ella se trazan los planos concurrentes como en el caso anterior.

9.1.4. Determinación del tipo de intersección

Los planos auxiliares tangentes a las superficies, es decir, las rectas t tangentes a las bases de los cilindros o prismas, se denominan planos límite.

La posición de los planos limite respecto a las bases de las superficies que se intersecan nos permiten conocer que tipo de intersección tenemos.

En la figura 9.5 t2 y t5 son las trazas de los planos límite de la superficie s1, y t1 y t6 son las trazas de los planos límite de la superficie s2. Como los planos límite de s2 abarcan a los de s1 se trata de una penetración.

En la figura 9.7 los planos límite de una superficie no abarcan a la otra y estamos ante una mordedura.

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Resolución de penetración

En primer lugar, tenemos que tener en cuenta que los planos t1 y t6 no cortan a ambas superficies y por lo tanto se descartarán para realizar la intersección.

9.1.5. Resolución de penetración

Los planos t2, t3, t4, y t5 cortan a la superficie s1 en los puntos 1, 2, 3, 4, 5, y 6, y a la s2 en abcd por una parte y en efgh por otra.

La unión correcta de los puntos se realizará recorriendo todos los puntos de la superficie que penetra s1, en el sentido de las agujas del reloj, a la vez que se recorre al arco a-d en ambos sentidos (a-d y luego d-a). El procedimiento se repite con el arco e-h. De esta forma se obtienen dos curvas: con los puntos a-d, la curva de entrada, y con e-h, la curva de salida. El orden de unión de los puntos de intersección para obtener la curva de entrada sería el siguiente: 1a-2b-3c-4d-5c-6b-1a y para la curva de salida: 1h-2g-3f-4e-5f-6g-1h.

Dos casos particulares de penetración son la penetración tangencial, con un plano límite tangente a las dos superficies (figura 9.6), y la penetración máxima cuando los dos planos límite son tangentes a las dos superficies a la vez. La resolución de ambos casos es la similar a la expuesta en el caso de penetración.

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Resolución de penetración tangencial

9.1.6. Resolución de mordedura

En el caso de intersección de mordedura, cada plano límite es tangente a una de las dos superficies y corta a la otra, y solamente habrá una curva intersección. Para obtener esta curva observamos que los planos t1 y t5 no cortan a las dos figuras así que no los utilizaremos para hallar curva intersección.

Hallamos los puntos intersección como en el caso de la penetración pero en los sentidos indicados en la figura 9.7. Comenzamos en un plano límite y seguimos en el sentido de las agujas del reloj para las dos superficies; en la superficie s1 al llegar al punto 3 debemos dar la vuelta pues es un plano límite mientras que en s2 continuamos adelante. Cuando en s2 llegamos al punto e debemos dar la vuelta pues hemos topado con el otro plano limite, mientras que en s1 puedo continuar adelante con el punto 5. Cuando llegamos al punto 4 en la superficie s1 no puedo continuar y debo volver hacia atrás mientras que en s2 puedo continuar hacia adelante. De esta forma obtenemos los puntos 1a-2b-3c-2d-1e-5d-4c-5b-1a que conforman la curva intersección buscada.

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Resolución de mordedura