15 septiembre, 2016

Tema 7. POLIEDROS

Contenido:  


3.1. Poliedros. Generalidades

3.2. Representación del tetraedro    

3.3. Representación del hexaedro

3.4. Representación del octaedro

3.5. Sección plana de un poliedro

3.6. Intersección de una recta con un poliedro


Introducción

En los temas anteriores hemos estudiados la representación de los diferentes elementos geométricos: punto, recta y plano. Así mismo hemos aprendido ha resolver problemas de paralelismo, perpendicularidad, distancias y ángulos entre ellos. Por otra parte, también hemos aprendido los métodos que emplea la geometría descriptiva para resolver de forma más sencilla y eficaz problemas de verdadera posición y magnitud de los diferentes elementos geométricos mediante las técnicas de abatimiento, cambio de plano y giros.

Llegados a este punto podemos decir que ya disponemos de los conocimientos necesarios para poder resolver cualquier tipo de problema que se nos presente.

En este tema, estudiaremos la representación de los poliedros regulares más comunes. La exposición no intenta ser exhaustiva sino que pretendemos adquirir los conocimientos fundamentales para solucionar los problemas que presentan estos cuerpos geométricos u otros que se les parezcan. Por ello nos ceñiremos a los tres poliedros regulares más conocidos: tetraedro, hexaedro o cubo y octaedro, sin detenernos a describir otros muchos poliedros existentes ya que la forma de trabajo será igual para unos que para otros y sólo se diferenciará en una mayor complejidad de trazado.

7.1. POLIEDROS. GENERALIDADES

Un poliedro es un cuerpo limitado por superficies planas. La superficie de separación entre el cuerpo y el espacio que le rodea se llama superficie poliédrica y esta constituida por una serie de polígonos llamados caras del poliedro.

A los lados de los polígonos les denominamos aristas y los vértices son también los vértices del poliedro.

Se denomina diagonal a la recta que une dos vértices del poliedro que no estén en la misma arista o en la misma cara.

Se denomina plano diagonal al definido por un vértice y una arista o por dos aristas que no pertenezcan a la misma cara.

Si el plano de cada cara deja al poliedro en el mismo subespacio se denomina convexo. En este tema sólo estudiaremos poliedros convexos. Los poliedros convexos tienen las siguientes características distintivas:

  • Un poliedro convexo no puede ser cortado por una recta en más de dos puntos.
  • La sección plana de un poliedro convexo es un polígono convexo.

Se denomina género de un poliedro al número de sus caras y sólo existen cinco géneros de poliedros convexos cuyas caras sean del mismo número de lados y sus ángulos sólidos del mismo número de aristas. Estos géneros son:

  • De caras triangulares: tetraedro (4 caras), octaedro (6 caras), e icosaedro (12 caras),
  • De caras cuadrangulares: Hexaedro (6 caras),
  • De caras pentagonales: dodecaedro (12 caras),

Se llaman poliedros regulares a aquellos que tienen sus caras y ángulos diedros iguales. Todo poliedro regular es inscriptible y circunscriptible a la esfera.

Los radios de las esferas inscritas y circunscritas se denominan apotema y radio del poliedro. La apotema es el segmento normal a una cara determinado por el centro de esta y el del poliedro.

Al centro de la esfera se le denomina también, centro del poliedro.

  • Poliedros regulares convexo

7.2. REPRESENTACIÓN DEL TETRAEDRO

El tetraedro es el poliedro compuesto por cuatro caras triángulos equiláteros, y tiene cuatro vértices y seis aristas.

Existen dos posiciones fundamentales a partir de las cuales podemos solucionar todos los ejercicios que se nos presenten:

  • Tetraedro apoyado sobre una cara.
  • Tetraedro apoyado en una arista.

Tetraedro apoyado en una cara

La forma más simple de representar el tetraedro es teniendo una cara apoyada en uno de los planos de proyección.

Para su representación comenzaremos por dibujar la planta de este tetraedro que estará apoyado en una de sus caras pero con los vértices en una posición arbitraria respecto a la línea de tierra.

Para poder dibujar su alzado necesitamos conocer la altura, H, del tetraedro, es decir, la distancia de la base al vértice superior del tetraedro.

t1En la figura 7.2 se ha dibujado la sección principal del tetraedro (h-L-h) y si unimos el centro de la base con el vértice superior, se forma un triangulo rectángulo (H-L-2/3 h). Su hipotenusa es el lado del tetraedro (L) y sus catetos son la altura del tetraedro H y la distancia de un vértice de la base al centro de la misma (2/3h), respectivamente.

Sea el tetraedro ABCD con los vértices ABC apoyados sobre el plano horizontal de proyección. Para hallar la altura en el sistema diédrico abatiremos el triángulo rectángulo citado anteriormente. Con ello obtenemos la altura, H, en verdadera magnitud. A continuación esa altura nos la llevaremos sobre el alzado y de esta forma completaremos la representación del tetraedro.

En la figura 7.3 podemos ver el proceso de abatimiento de la altura del tetraedro.

tetraedro-2

Tetraedro apoyado en una cara

El estudio de las partes vistas y ocultas no representa una gran complejidad en este caso. Tenemos que tener en cuenta que el contorno de la figura siempre será visto. Una vez marcado el contorno, vemos que en proyección horizontal, nos queda por determinar las tres aristas que concurren en el vértice D. No hay más que dos opciones o las tres son vistas o las tres son ocultas.

Si miramos la proyección vertical vemos que el vértice D tiene mayor cota que los vértices A, B y C por tanto, el vértice D es visto.

En la proyección vertical solo tenemos una arista, la BD, que debemos determinar si es vista o es oculta. Examinando la proyección horizontal observamos que al mirar la figura perpendicularmente a LT, la arista BD es la más cercana al observador y, por tanto, será vista en proyección vertical.

Caso general

Un caso general basado del tetraedro apoyado en una cara es cuando esta cara se encuentra situada en un plano oblicuo cualquiera.

t3La construcción es fácil, abatiremos el plano P y construiremos el triángulo equilátero. A continuación hallaremos el centro O del mismo. Desabatiremos dicho triángulo y por O trazamos una recta T perpendicular al plano. Sobre ella nos llevaremos la altura del tetraedro. Para ello giraremos la recta hasta situarla en verdadera magnitud o utilizaremos la recta de verdaderas magnitudes (ver tema de paralelismo, perpendicularidad y distancias) y situaremos sobre ella el valor de la altura, previamente calculada.
Ejercicio resueltoUna vez obtenido el cuarto vértice tan solo queda unirlo con los otros tres y estudiar las partes vistas ocultas.

Enunciado: AB es la proyección horizontal de la arista de un tetraedro, una de cuyas caras ABC está apoyada en el plano PP, siendo el punto C más alto que A y B. Sabiendo además que el vértice D es el más alto de todos se pide, dibujar las proyecciones del tetraedro con las partes vistas y ocultas.

  1. Comenzaremos hallando las proyecciones verticales de a y b mediante horizontales del plano.
  2. A continuación abatimos A y B y construimos el triángulo equilátero abatido.
  3. Para construir el triángulo hay dos posibilidades, dibujarlo a la izquierda o la derecha de AB. Elegimos el derecho por mayor claridad del dibujo.
  4. Desabatimos el punto C y hallamos el punto O, centro de la base. Por O trazamos la altura del tetraedro que será perpendicular al plano donde esté situada la base.
  5. Calculamos la medida de la altura del tetraedro por su sección principal y mediante la recta de verdaderas magnitudes se halla el punto

Para dibujar partes vistas y ocultas tenemos en cuenta que el contorno de la figura siempre es visto. En la proyección horizontal tenemos que determinar cuál es la recta vista: la a-b o la c-d. Como c-d tiene mayor cota que a-b será la recta vista. Lo mismo sucede con c-b en la proyección vertical.

t4

Tetraedro apoyado en un plano cualquiera

 Representación del tetraedro apoyado sobre una arista

En esta posición y según vemos en la figura del espacio las aristas opuestas del tetraedro se proyectan perpendicularmente. Observamos en la figura 7.5 que el tetraedro, en esta posición tiene dos aristas horizontales. La distancia entre estas dos rectas horizontales que se cruzan y son perpendiculares entre si, es el segmento MN o distancia d.

t5

Para hallar el valor de la distancia d, construimos el triángulo rectángulo señalado en la figura tridimensional, donde la hipotenusa es la arista del tetraedro L, un cateto es d, y el otro, es la proyección horizontal de L.

Otra forma de hallar d es la construcción del triángulo isósceles (L-h-h), en el que su altura es la distancia d.

Ejercicio resuelto

Enunciado: Conocemos la arista AB de un el tetraedro. Esta arista es la línea de máxima pendiente de un plano a respecto al cual la arista CD del tetraedro es paralela.

Con la línea de máxima pendiente AB hallamos el plano a. Este plano lo convertimos en proyectante mediante un cambio de plano. En él la arista AB se encuentra en verdadera magnitud. Con ella podemos hallar el valor d (distancia entre MN) y como sabemos que CD es paralela al plano a, se encontrará en un plano paralelo a él, el plano b. Además sabemos que CD es perpendicular a AB por geometría del tetraedro. Hallamos C y D y completamos las partes vistas y ocultas del tetraedro.

t6


3.1. Poliedros. Generalidades

3.2. Representación del tetraedro    

3.3. Representación del hexaedro

3.4. Representación del octaedro

3.5. Sección plana de un poliedro

3.6. Intersección de una recta con un poliedro