15 septiembre, 2016

Tema 5. ABATIMIENTOS, CAMBIOS DE PLANO Y GIROS

Contenido:  


5.1. Abatimientos

5.1.1. Método de abatimiento

5.1.2. Abatimiento de un punto

5.1.3. Desabatimiento de un punto

5.1.4. Abatimiento de una recta

5.1.5. Desabatimiento de una recta

5.1.6. Aplicación de afinidad a los abatimientos

5.1.7. Abatimiento de una figura plana

5.2. Cambios de plano

5.3. Giros


Introducción

Cuando una figura se encuentra situada en un plano inclinado cualquiera del espacio, su proyección no nos da la verdadera magnitud de la figura. Como a menudo necesitamos conocer longitudes o áreas en verdadera magnitud, tendremos que acudir a una técnica que nos resuelva el problema. La técnica más utilizada en el sistema acotado y en otros sistemas de representación es el abatimiento. Con el mismo fin se utilizarán también las técnicas de cambios de plano de proyección y los giros.

Este tema está orientado a conocer lo que sucede a los diferentes elementos geométricos situados en un plano cuando este es abatido o se realiza un giro o un cambio de plano. Así analizaremos en primer lugar que le sucede a un punto cuando se abate el plano que lo contiene y lo denominaremos abatimiento de un punto. También veremos como abatir una recta o una figura plana.

Del mismo modo aprenderemos como afectan los giros y los cambios de plano de proyección a las proyecciones de los puntos, las rectas o los planos.

5.1. ABATIMIENTOS

Una figura situada en el espacio en un plano paralelo al plano de proyección presenta una proyección igual a la figura del espacio. Sin embargo, cuando la figura se encuentra en un plano inclinado cualquiera, la proyección no presenta las mismas dimensiones que la figura en el espacio. Esto lo podemos observar en la figura 5.1.

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Figura en un plano inclinado

Para poder ver la figura en verdadera magnitud se acudirá a girar el plano a alrededor de su traza o eje de giro hasta hacerlo coincidir con el plano proyección H. A este proceso se le denomina abatimiento.

En los apartados siguientes hablaremos de abatimiento de un punto, de una recta o de un plano pero debemos tener claro que en todos los casos lo que estamos abatiendo es el plano aunque poniendo el foco de atención en lo que le sucede a un punto o a una recta pertenecientes a dicho plano.

Abatimiento

En la figura 5.2 observamos que después del abatimiento vemos la figura en su verdadera dimensión. El abatimiento sólo lo emplearemos cuando necesitemos conocer la dimensión de figuras contenidas en un plano.

Abatir un plano a sobre un plano horizontal H  es girar el plano α alrededor de su traza con el plano H hasta hacerlo coincidir con este. A esta traza del plano que es el eje de giro la denominaremos charnela.

El giro del plano lo podemos realizar en el sentido de las agujas del reloj o en el contrario. Elegiremos uno u otro sentido en función de una mayor claridad en el trazado del dibujo ya que el resultado será el mismo para los dos casos.

Método de abatimiento

Sea el punto P situado en un plano inclinado α. Al girar el plano para abatirlo sobre el plano H, el punto P describe una circunferencia contenida en un plano perpendicular a la charnela. La distancia del punto P a la charnela ese denomina radio de abatimiento r. Este radio es perpendicular a la charnela. El punto abatido se encuentra situado en la perpendicular a la charnela contenida en el plano H.

Según podemos observar en la figura el radio de abatimiento coincide con la hipotenusa del triángulo rectángulo (P-p’-o), cuyos catetos son conocidos. P’o es la distancia desde la proyección del punto a la charnela y Pp’ es la cota del punto.

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Abatimiento de un punto situado en un plano

Abatimiento de un punto    

En el apartado anterior se ha descrito el procedimiento para abatir en el espacio un punto P situado en un plano a. Observamos que el triangulo que define el radio de abatimiento se encuentra sobre el plano b que es perpendicular al plano de proyección H.

Para poder realizar el abatimiento en el sistema diédrico necesitamos poder dibujar en nuestro papel, el triangulo que nos da el valor del radio, y con él, la circunferencia de abatimiento. Para poder realizar esto abatiremos el plano perpendicular b sobre el plano H.

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Plano b abatido sobre el plano de proyección

De esta forma, el mecanismo de abatimiento en el sistema diédrico será el siguiente:

  1. Por la proyección horizontal del punto P trazaremos dos rectas, una paralela a la charnela y otra perpendicular a la charnela.
  2. Sobre la paralela a la charnela nos llevaremos un segmento igual a la diferencia de cotas entre el punto y el plano de abatimiento (este plano puede ser el plano de proyección H o cualquier plano paralelo a él).
  3. Trazaremos el triangulo rectángulo de la figura 5.3 y hallaremos el radio de abatimiento.
  4. Con ese radio y con centro en el punto de corte de la perpendicular con la charnela trazamos un arco hasta cortar a la línea perpendicular. El punto de corte será el punto abatido.aba-p

Abatimiento de un punto

De la misma forma hubiéramos podido abatir sobre el plano vertical, hallando el triangulo del radio de abatimiento mediante la proyección vertical y la diferencia de alejamientos, de la proyección horizontal y la diferencia de cotas.

Desabatimiento de un punto

Si conocemos el abatimiento de un punto situado en un plano a y queremos hallar su proyección acotada, repetiremos los pasos anteriores pero en sentido inverso.

  1. Primeramente trazaremos desde el punto P abatido la perpendicular a la charnela.
  2. La distancia de este punto abatido a la charnela es el radio de abatimiento r.
  3. Con centro en el punto o y con radio r trazamos el arco desde (p) abatido
  4. Hallamos el punto de corte del arco con la horizontal que pasa por la proyección del punto.
  5. La distancia entre este punto y la proyección acotada es la diferencia de cotas o la cota del punto respecto al plano de proyección.

Abatimiento de una recta

Como una recta queda determinada por dos puntos, para abatirla basta con abatir dos puntos cualesquiera de la recta.

La traza de una recta situada en un plano esta sobre la traza del plano por definición. Como la traza del plano es la charnela, es decir, el eje de giro, la traza de la recta no se mueve al abatir el plano y es un punto que ya esta abatido. Para obtener la recta abatida bastará con abatir otro punto cualquiera de la recta y unir este punto abatido con la traza de la recta.

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Abatimiento de una recta en el espacio

aba-sAbatimiento de una recta en el sistema diédrico

Desabatimiento de una recta

Para desabatir una recta bastará desabatir dos de sus puntos por el procedimiento anteriormente expuesto. Si conocemos la traza de la recta bastará con desabatir uno de sus puntos.

Aplicación de afinidad a los abatimientos

Analizando la figura espacial del abatimiento de una recta observamos:

  • Cualquier recta contenida en el plano α y su proyección r sobre el plano de proyección H se cortan en la charnela o traza del plano a con el plano
  • La recta abatida se corta también con las anteriores en el mismo punto sobre la charnela.
  • La proyección de la recta y la recta abatida son afines.
  • Los puntos afines de cada recta se encuentran en rectas perpendiculares a la charnela.

La aplicación de la afinidad a los abatimientos es de gran importancia ya que nos permitirá simplificar el proceso de abatimiento pues no será necesario que abatamos todos los puntos de la figura. En el apartado siguiente veremos un ejemplo de aplicación de afinidad a una figura geométrica.

Abatimiento de una figura plana

Sea el pentágono ABCDE situado en el plano α, del cual conocemos su proyección horizontal y vertical.

Para abatir esta figura y hallar su verdadera magnitud, abatiremos primeramente uno de su vértices A, sobre el plano H, aplicando el abatimiento de un punto.

Abatimos a continuación los lados AB y EA que concurren en A. Para ello utilizamos los puntos de corte de la prolongación de estos lados con la charnela. Conocemos el abatimiento de uno de los puntos el punto A y podemos hallar el abatimiento de B. B debe estar en la perpendicular a la charnela. Por otra parte, debe estar sobre la recta afín a AB, es decir, B debe estar en la intersección de la perpendicular a la charnela con la recta afín a la AB, es decir la (a)-(b). De la misma forma hallaríamos la recta afín a EA y obtendríamos el punto E.

En el caso del vértice C, la mejor solución es unirle al mediante una diagonal que pase por E y solucionarlo de la misma forma que los anteriores. Una vez conocido C hallamos el punto D mediante la recta afín que los une. De esta forma obtenemos el polígono abatido (a) (b) (c) (d) (e) de la figura.

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Abatimiento de una figura plana aplicando la afinidad entre rectas


Para ver más apartados de este tema  pincha en los enlaces siguientes:

5.2. Cambios de plano

5.3. Giros