15 septiembre, 2016

Tema 4. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD Y DISTANCIAS

Contenido:  


4.1. Paralelismo

4.2. Perpendicularidad

4.3. Distancias


Introducción

En las unidades anteriores hemos aprendido los fundamentos del sistema diédrico. En esta unidad aprenderemos a trabajar con los elementos del sistema diédrico introduciendo los conceptos de paralelismo, perpendicularidad y distancia. Estos conceptos serán de gran utilidad en la resolución de problemas más complejos.

En primer lugar, aprenderemos las condiciones de paralelismo entre dos rectas y entre dos planos, posteriormente, introduciremos las condiciones de paralelismo entre recta y plano.

De la misma forma se expondrán las condiciones de perpendicularidad entre dos rectas, entre dos planos o entre una recta y un plano.

Y por último, basándonos en todo lo aprendido anteriormente, podremos hallar la distancia entre los diferentes elementos geométricos  aprenderemos a hallar la distancia entre un punto y una recta, entre un punto y un plano, entre dos rectas paralelas o entre dos planos paralelos.

PARALELISMO

El dominio de las técnicas de trazado de rectas y planos paralelos es de gran utilidad para poder solucionar los diversos problemas que se presentarán en el sistema diédrico.

Condiciones de paralelismo entre rectas

Si dos rectas son paralelas en el espacio, sus proyecciones también los son. Sin embargo el que existan proyecciones paralelas en uno de los planos de proyección no nos permite afirmar que dos rectas sean paralelas en el espacio.

Para trazar por un determinado punto del espacio, una recta paralela a otra dada, bastará con trazar una paralela a cada proyección de la recta por la respectiva proyección del punto. En la figura siguiente, tenemos el punto A y la recta R. Queremos trazar una recta paralela a R que pase por el punto A. Como vemos en la figura, bastará con trazar una paralela a cada proyección de la recta R por el punto A. De esta forma obtenemos las dos proyecciones s’ –s’’ de la recta S.

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Rectas paralelas

Planos paralelos

Un plano es paralelo a otro cuando sus trazas son paralelas a las del plano dado.

Para trazar por un punto cualquiera del espacio, un plano paralelo a otro dado, trazaremos en primer lugar, por dicho punto, una horizontal del plano que buscamos. Por ser esta recta una recta horizontal, sabemos:

  • Que su proyección vertical es paralela a la línea de tierra y debe pasar por la proyección vertical del punto.
  • La proyección horizontal de dicha recta ha de pasar por la proyección horizontal del punto y ser paralela a la traza horizontal del plano dado.

Sea el plano (a1a2) y un punto A por el que queremos pasar un plano paralelo a a. En primer lugar, trazamos por el punto A, una recta horizontal del plano que buscamos. Una vez trazada la recta horizontal, hallamos la traza vertical v¨- v” de esta recta. Por esta traza pasará la traza vertical del plano (b2) que será paralela a la traza vertical del plano dado (a2). La otra traza (b1) se cortará con ella en la línea de tierra y será paralela a la horizontal trazada anteriormente.pl-paral

Planos paralelos

Paralelismo entre recta y plano

Para abordar el paralelismo entre una recta y un plano conviene recordar algunos conceptos de geometría.

  1. Para que una recta sea paralela a un plano es condición necesaria y suficiente que sea paralela a una de las rectas de este plano o que esté contenida en un plano paralelo al primero.

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Paralelismo entre recta y plano

Plano paralelo a recta

Para que un plano sea paralelo a una recta es suficiente que contenga una recta paralela a la dada.rp-parle2

En ambos casos existen infinitas soluciones y debemos conocer otra condición de posición entre la recta y el plano para poder resolver el ejercicio.

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4.1. Paralelismo

4.2. Perpendicularidad

4.3. Distancias