28 septiembre, 2016

SUPERFICIE CÓNICA


8.1.    La pirámide

8.2.    El prisma

8.3.    Superficie cónica

8.4.    Superficie cilíndrica. El cilindro

8.5.    La esfera


Introducción

Una superficie cónica es la engendrada por una recta denominada generatriz que se mueve sobre una curva en el espacio, a la que llamaremos directriz, y que pasa un punto fijo, V, exterior a la directriz, al que llamaremos vértice.

Siempre que la directriz sea una cónica, la superficie la llamaremos cono. Generalmente para trabajar con él se suele limitar por dos planos, uno el que contiene a la cónica y otro el que pasa por el vértice. Llamamos eje del cono a la recta que pasa por el vértice y el centro de la directriz.

Representación diédrico del cono

Consideremos un cono definido por su directriz, circunferencia, y su vértice V. Si trazamos los planos a y β tangentes al cono a lo largo de las aristas AV y BV, respectivamente, tenemos determinados los contornos aparentes verticales. En proyección vertical serán vistas las generatrices de la zona de la directriz entre los vértices a-b-c-e que en proyección horizontal se encuentran más cercanos al observador y serán ocultas las que lo hacen entre los vértices e-d-a que se encuentran en la parte posterior de la figura.

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Representación del cono

En proyección horizontal son todos vistos excepto los que tapa el mismo cono por encontrarse el vértice más alto que la directriz. Tendremos, por tanto, una parte oculta entre los puntos c-d.

Planos tangentes a un cono

En la unidad de ángulos ya hablamos de las características del cono de revolución. Sin embargo recordaremos aquí algunas cosas útiles para la resolución de ejercicios de representación de conos.

  • Propiedades del cono
  1. El plano tangente a un cono en un punto A del mismo, estará determinado por dos rectas que pasen por A. Una de ellas la generatriz del cono que pasa por A y otra la tangente en A la directriz que contiene al punto
  2. Considerando la generatriz g que pasa por A, el plano tangente en el punto dado será tangente al cono a lo largo de toda la generatriz que pasa por A. Luego todos los puntos de una generatriz tiene el mismo plano tangente.
  3. Todos los planos tangentes a un cono contendrán al vértice de dicho cono, ya que siempre contiene a una generatriz y estas pasan todas por el vértice.
  4. Si el punto fuese exterior al cono, el plano tangente contendrá a la recta que pasa por el vértice y por el punto A y tendremos dos posibles planos tangentes al cono.
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    • Plano tangente a un cono por un punto exterior a él

Plano tangente al cono por un punto A perteneciente al cono

Para determinar el plano tangente a un cono en un punto A, trazaremos la generatriz que pasa por A, el plano buscado estará definido por la generatriz y por la tangente en A a la directriz que pase por A que será perpendicular al radio y a la generatriz del cono.

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  • Plano tangente a un cono por un punto de dicho cono

Plano tangente al cono por un punto A, exterior al cono

Si el punto que nos dan es un punto A exterior al cono, trazaríamos la recta R definida por el vértice V y el punto A, determinaríamos la traza horizontal de R y por ella trazaríamos las dos tangentes a la directriz que serán las dos posibles trazas de los planos tangentes a1 y a2. Una vez determinada las dos trazas horizontales de los planos, hallaríamos la traza vertical de la recta R ya que por este punto pasarán las dos trazas verticales de los planos buscados.

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  • Plano tangente a un cono por un punto exterior a élr17

Plano tangente al cono y que sean paralelos a una dirección dada

Si queremos trazar los planos tangentes a un cono y que sean paralelos a una dirección dada S, trazaríamos por el vértice V del cono una recta R paralela a la dirección, con lo cual hemos reducido el problema al caso anterior y se resuelve igual.

Intersección de recta y cono

Podemos emplear los métodos empleados en la intersección de recta y pirámide o recta y prisma pero vamos a emplear otro método más preciso. El método consiste en trazar un plano a que contenga a la recta R y pase por el vértice del cono. Este plano cortará al cono según dos rectas que pasan por el vértice del mismo, donde estas rectas se corten con la dada tendremos los puntos de entrada y salida en el cono.

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Intersección de recta con cono

Elegimos un punto auxiliar de la recta R y trazamos la recta S que también pertenecerá al plano. Determinamos las trazas horizontales de R y S y con ellas obtenemos la traza del plano a. Esta traza corta a la directriz en dos puntos. La intersección de la recta R y las generatrices que parten de los puntos anteriores nos darán los puntos a y b de entrada y salida en el cono, respectivamente.

En la figura observamos que en proyección vertical a y b son vistos, en cambio, en proyección horizontal el punto b no es visto porque le tapa la proyección del misma del cono.

Sección plana del cono

Comenzaremos por realizar un cambio de plano para poner el plano oblicuo a de canto donde veremos la intersección como una recta.

Por otro lado, toda sección plana de un cono es una cónica o dos rectas. Serán dos rectas si el plano pasa por el vértice del cono, en cualquier otro caso, será siempre una cónica. Las curvas cónicas son cuatro, circunferencia, elipse, hipérbola y parábola; por tanto lo primero que tenemos que determinar es qué tipo de curva vamos a obtener.

Consideremos un cono y un plano a. Tracemos un plano paralelo al a por el vértice del cono y veamos a cuantas generatrices del cono no corta el plano, pueden ocurrir los siguientes casos.

  1. Que corte a todas las generatrices del cono. Vemos que el plano paralelo corta a todas las generatrices del cono, por tanto el plano a también cortará a todas las generatrices del cono, luego la curva intersección no tendrá ningún punto en el infinito dando lugar a una circunferencia o elipse.
  2. Que no corte a una generatriz del cono. El plano paralelo trazado por el vértice del cono, vemos que corta a todas las generatrices menos a una, la R, por tanto el plano a, que es paralelo a la generatriz R, la cortará en el infinito, luego la curva intersección tendrá un punto en el infinito dando lugar a una parábola.
  3. Que no corte a dos generatrices del cono. El plano paralelo vemos que corta a todas las generatrices menos a dos, la S y la T, por tanto el plano a, que es paralelo a las generatrices S y T, las cortará en el infinito, luego la curva intersección tendrá dos puntos en el infinito dando lugar a la hipérbola.
    • Tipos de sección de un cono por un plano

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Determinación de la sección

Dado un cono de revolución y un plano a queremos conocer la sección que produce dicho plano en el cono.

Para calcular la cónica procederemos de la siguiente manera:

Comenzamos realizando un cambio de plano para poner el plano a de canto y poder ver el corte como una línea.

En el cambio de plano vemos que los puntos 3’’ y 4’’ son los mas alto y bajo de la elipse, dando lugar al eje mayor de la misma, y los puntos 1’’ y 2’’ son los extremos del eje menor. Situamos estos puntos sobre sus respectivas generatrices obteniéndose los puntos de la sección 1, 2, 3 y 4. (Para situar los puntos 1 y 2 se ha cortado el cono con un plano paralelo al plano horizontal.

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Sección de un cono

Son puntos importantes de situar los puntos de contacto de la elipse con los contornos aparentes verticales que corresponden a los puntos 5′ y 6’.

 

Para determinar la proyección vertical de la elipse hemos situado sobre el cono los puntos 1′, 2′ 3′ y 4′. Los puntos 1′ y 2‘ se han situado mediante una recta horizontal del plano a y los 3′ y 4′ situando la recta en el plano mediante sus trazas horizontales y verticales.

Por último para determinar las partes vistas y ocultas, vemos en el cambio de plano, que el cono es visto desde el corte hacia arriba. En proyección horizontal, la cónica, es entera vista por caer el vértice del cono dentro de la directriz. En proyección vertical, la elipse queda dividida en dos trozos comprendidos entre los puntos 5’’ y 6’’, queda vista la zona donde queda el punto 2’’, siendo oculta la zona donde está el punto 2’’. Obsérvese que en proyección horizontal obtenemos ejes de la elipse y en proyección vertical diámetros conjugados.

  • Desarrollo del cono oblicuo de directriz circularr22

El desarrollo de un cono oblicuo se obtiene inscribiendo una pirámide en su interior. Cuantos más lados tenga la pirámide mas exacto es el desarrollo. Las aristas de la pirámide han de coincidir con generatrices del cono. Una vez obtenido el desarrollo de la pirámide, procederemos a sustituir las aristas básicas por arcos calculando las tangentes en cada vértice de la directriz de la pirámide. Para obtener el desarrollo calculamos las verdaderas magnitudes de las aristas de la pirámide mediante giros.

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8.1.    La pirámide

8.2.    El prisma

8.3.    Superficie cónica

8.4.    Superficie cilíndrica. El cilindro

8.5.    La esfera