15 septiembre, 2016

Tema 8. SUPERFICIES REGLADAS


8.1.    La pirámide

8.2.    El prisma

8.3.    Superficie cónica

8.4.    Superficie cilíndrica. El cilindro

8.5.    La esfera


Introducción

En este tema realizaremos un estudio de algunas superficies regladas y de la esfera que es un cuerpo de revolución. Entre las superficies regladas estudiaremos, la pirámide, el prisma, el cilindro y el cono. Dentro de estas superficies regladas también tenemos cuerpos de revolución como el cilindro y cono rectos.

Reciben este nombre de superficies regladas a las generadas por el movimiento de una recta que es la generatriz, sobre una curva o poligonal. Se clasifican en dos grandes familias: las desarrollables y las alabeadas.

Las propiedades fundamentales que caracterizan estas superficies desarrollables son:

  • Pueden desarrollarse sobre un plano.
  • El plano tangente a la superficie en un punto es también tangente a ella a lo largo de toda la generatriz, que pasa por dicho punto y a la cual contiene. El ejemplo más sencillo de superficies desarrollables es el plano; otra clase de estas superficies son las poliedrales, pudiéndose distinguir dentro de ellas las regulares y las irregulares.

Dentro de estas se encuentran las superficies que estudiaremos en este tema, las superficies radiadas, que son superficies engendradas por el movimiento de una recta que se apoya constantemente en un punto fijo (vértice) y en una línea (directriz); entre ellas se encuentran las superficies piramidales, prismáticas, cónicas y cilíndricas.

La pirámide

Una pirámide es una superficie engendrada por un conjunto de rectas que pasan por un punto fijo llamado vértice y se apoyan en una poligonal plana que llamaremos directriz. El punto fijo es el vértice de la pirámide. Cada una de las rectas que engendran la superficie se denominan generatrices. Las rectas que pasan por uno de los vértices de la poligonal las llamaremos aristas laterales y las rectas que forman la directriz son las aristas básicas.

Generalmente, para trabajar con estas superficies se suelen limitar por dos planos, uno que pasa por el vértice y otro que es el plano que contiene a la directriz. Si la pirámide está limitada por dos planos, uno el de la directriz y otro que no pase por el vértice, entonces tenemos un tronco de pirámide.

Llamamos altura a la perpendicular al plano de la directriz trazada por el vértice.

 

Clasificación de las pirámides

Las pirámides se clasificar en regulares, irregulares, rectas y oblicuas.

Una pirámide regular es aquella que su directriz es un polígono regular. Una pirámide recta es aquella que su altura pasa por el centro de la directriz y, una pirámide es oblicua cuando la altura no pasa por el centro de la directriz.

En la figura tenemos una pirámide recta regular (a), una pirámide recta irregular (b), una pirámide oblicua regular (c) y una pirámide oblicua irregular.

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Tipos de pirámides

 Representación de la pirámide

Consideremos una pirámide definida por una poligonal regular de seis lados situadas en el plano horizontal y con vértice en V. Vemos que la pirámide representada es recta al ser la directriz un hexágono regular y que la altura pasa por el centro de la directriz.

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Planos tangentes y visibilidad

Los planos a y β son planos tangentes a la pirámide a lo largo de las aristas A y D respectivamente. A estas aristas se las denomina contornos aparentes verticales. Por tanto, en proyección vertical serán vistas las aristas que se encuentren por delante de A y D en el plano horizontal, es decir son vistas las aristas A-B-C-D y son ocultas las que se encuentran por detrás de A y D, es decir, E-F.

Sección plana de una pirámide

La determinación de la sección que produce un plano en una pirámide se puede realizar como en todo cuerpo geométrico de dos formas diferentes:

  1. Por intersección recta plano.
  2. Por cambio de plano a un plano proyectante.

Intersección recta-plano

Se comienza hallando la intersección de una de las aristas DV de la pirámide con el plano que secciona la figura. En nuestro caso hemos obtenido de esta forma el punto D’. Si analizarnos la figura observamos que la traza horizontal del plano ya corta a la base de la pirámide en dos puntos, por lo tanto, disponemos de otros dos puntos de la sección.

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Sección de una pirámide por un plano dado mediante intersección recta plano

Seguidamente, teniendo en cuenta que, la sección buscada y la base de la pirámide son figuras homológicas de centro el vértice y eje la traza horizontal del plano, podemos calcular la sección aplicando los conocimientos de homología.

Prolongamos el lado ED de la base de la pirámide hasta cortar a la traza horizontal del plano a1 y unimos el punto 1 obtenido con el D’ de la sección. Esta recta corta a la arista EV en E’. Repetimos el procedimiento con los otros vértices y obtenemos los puntos restantes A’ y B’.

Subiendo todos los puntos hallados a la proyección vertical de la pirámide, hallamos la proyección vertical de la sección.

Cambio de Plano

Sin embargo, la forma más rápida de hallar la sección es utilizar un cambio de plano. El proceso consiste en realizar un cambio de plano para poner el plano a de canto, de esta manera la sección la veremos como una línea sobre la traza proyectante del plano. También realizamos el cambio de plano con la pirámide. Los puntos de corte del plano con las aristas de la pirámide se encuentran sobre la traza proyectante del plano.

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Sección de una pirámide por un plano mediante cambio de plano

Llevando estos puntos a sus respectivas aristas, tanto en proyección horizontal como vertical, obtenemos la sección determinada por el plano sobre la pirámide.

Observando el cambio de plano vemos que la pirámide será vista desde la traza vertical del plano proyectante hacia arriba, es decir, las aristas de la pirámide son vistas desde el vértice V hasta los puntos A, B, D y E. El resto será oculto a excepción del vértice c’ de la base. Análogamente ocurre en proyección vertical.

Verdadera magnitud de la sección

En alguna ocasión nos pueden pedir calcular la verdadera magnitud de la sección, para ello, no tenemos más que abatir el plano y calcular la sección abatida.

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Verdadera magnitud de una sección

Un método para abatir es poner el plano de canto por lo que aprovecharemos el cambio de plano ya realizado para determinar la verdadera magnitud de la sección.

Desarrollo de la pirámide

Realizar el desarrollo de una pirámide no es más que abrirla y extenderla sobre una superficie plana para su posterior plegado y así, obtener la correspondiente figura en tres dimensiones. Para ello, comenzaremos por calcular las dimensiones de todos los triángulos que forman las caras de la pirámide.

Hay dos formas de calcular la verdadera magnitud de las aristas, y por lo tanto, dos formas de realizar el desarrollo de la pirámide:

  1. Abatiendo cada cara alrededor de su arista de la base hasta que el vértice quede abatido sobre el plano horizontal de proyección.
  2. Colocando cada cara una a continuación de la otra, ya que cada cara comparte una arista con la cara contigua. Este método es muy útil en el caso de pirámides y es el que vamos a explicar en este tema.

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Desarrollo de una pirámide

Comenzaremos por determinar las verdaderas magnitudes de todas las aristas de la pirámide. Para ello vamos a girar las aristas laterales hasta convertirlas en rectas frontales, de esta forma tendremos las aristas en verdadera magnitud en su proyección vertical. Las aristas de la base ya se encuentran en verdadera magnitud con lo cual puedo determinar cada cara de la pirámide.

Vamos a desarrollar la pirámide empezando por la cara CDV, a continuación DAV, ABV y BCV, que junto con la base nos dará el desarrollo total de la pirámide.

Si queremos llevar la transformada de la sección como la ABCD producida por un plano que corta a la pirámide, tenemos que tener en cuenta que la cota de los puntos de la sección sobre las aristas no varían con el giro. Por lo tanto, puedo llevar la cota sobre las aristas en verdadera magnitud y obtener los puntos de la transformada. Uniendo estos puntos sobre el desarrollo obtenido anteriormente, obtenemos la transformada de la sección que produce un plano sobre la pirámide.

Problema resuelto

Enunciado:

El punto c’-c’’ es el vértice de un pentágono regular de 3 cm de lado, situado en el plano a1a2 y de tal forma que uno de sus lados c-d esta situado en el plano H, teniendo el vértice d mayor alejamiento que c. Los vértices restantes del pentágono tienen mayor altura que el c y d. Este pentágono es la base de una pirámide regular de 6 cm de altura, estando el vértice de dicha pirámide situado más alto que la base. Se pide dibujar la pirámide con partes vistas y ocultas”.

Si el lado C-D esta situado en el plano horizontal y ha de pertenecer al plano a1a2, entonces el vértice D también está sobre la traza del plano. Como el punto D tiene mayor alejamiento que C ha de estar situado por debajo del punto a 3 cm ya que por estar en el plano horizontal se encuentra en verdadera magnitud.

  1. Abatimos el plano a1a2 sobre el que se encuentra la base de la pirámide. De esta forma podemos dibujar el pentágono regular de la base abatida (A)-(B)-(C)-(D)-(E).
  2. Desabatimos los puntos mediante horizontales del plano y obtenemos los puntos a’-b’-c’-d’-e’, que constituye la proyección de la base en el plano horizontal.
  3. Mediante horizontales del plano subimos los puntos a su proyección vertical.
  4. A continuación hallamos el centro de la base pentagonal abatida O y lo desabatimos a su proyección horizontal y vertical mediante horizontales del plano.
  5. Trazamos la altura de la pirámide que es perpendicular a su base y por tanto al plano a1a2.
  6. Con la recta de verdaderas magnitudes hallamos la posición del vértice de la pirámide que estará 6 cm de altura.
  7. Unimos el vértice con los vértices de la base y obtenemos las proyecciones de la pirámide.

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